轴对称扭转问题的有限元形式

2023.05.05

有限元方法求解的是微分方程的弱形式。记微分方程为Du=0,左边与试函数空间中的任一个试函数v相乘后,在求解域Ω上积分仍应为0,即 ΩvDu dΩ=0

这就是微分方程的弱形式。弱形式的解称为弱解,对可微的要求更低,更容易求解。

轴对称扭转问题可转为求解以下偏微分方程 x(y3ux)+y(y3uy)=0

其中x轴为轴向,y轴为径向,未知量u为旋转角。具体推导可见之前的文章

复习一下向量微积分的知识,上述方程可以写为更一般的形式 (cu)=0

散度和梯度有性质 (vcu)=v(cu)+cuv
于是弱形式左侧的积分 Ωv(cu) dΩ=Ωcuv dΩ+Ω(vcu) dΩ
对上面第二项应用高斯散度定理 Ω(vcu) dΩ=Ωn(vcu) ds=Ωvcun ds
综上,弱形式的方程为 Ωcuv dΩ=Ωvcun ds

在轴对称扭转问题中,边界条件为转角u为已知,又或者切应力τ为已知,此时un=τG,这里G为剪切模量。

其实推导并不复杂,不过本人之前一直是乱蒙。然后本文主要是测试一下使用MathJax显示公式,这是这套博客模板自带的功能,但本人之前一直用的是KaTeX。