有限元方法求解的是微分方程的弱形式。记微分方程为$Du=0$，左边与试函数空间中的任一个试函数$v$相乘后，在求解域$\Omega$上积分仍应为0，即 $$ \int_\Omega vDu~ \mathrm{d}\Omega = 0 $$ 这就是微分方程的弱形式。弱形式的解称为弱解，对可微的要求更低，更容易求解。
轴对称扭转问题可转为求解以下偏微分方程 $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(y^3\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(y^3\frac{\partial u}{\partial y}\right) = 0 $$ 其中$x$轴为轴向，$y$轴为径向，未知量$u$为旋转角。具体推导可见之前的文章。
复习一下向量微积分的知识，上述方程可以写为更一般的形式 $$ \nabla\cdot(c\nabla u) = 0 $$ 散度和梯度有性质 $$ \nabla\cdot(v c\nabla u) = v\nabla\cdot(c\nabla u) + c\nabla u\cdot\nabla v $$ 于是弱形式左侧的积分 $$ \int_\Omega v\nabla\cdot(c\nabla u)~\mathrm{d}\Omega = -\int_\Omega c\nabla u\cdot\nabla v~\mathrm{d}\Omega+\int_\Omega \nabla\cdot(v c\nabla u)~\mathrm{d}\Omega $$ 对上面第二项应用高斯散度定理 $$ \int_\Omega \nabla\cdot(v c\nabla u)~\mathrm{d}\Omega=\int_{\partial\Omega} \mathbf{n}\cdot(v c\nabla u)~\mathrm{d}s=\int_{\partial\Omega} v c\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}~\mathrm{d}s $$ 综上，弱形式的方程为 $$ \int_\Omega c\nabla u\cdot\nabla v~\mathrm{d}\Omega=\int_{\partial\Omega} v c\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}~\mathrm{d}s $$
在轴对称扭转问题中，边界条件为转角$u$为已知，又或者切应力$\tau$为已知，此时$\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}=\frac{\tau}{G}$，这里$G$为剪切模量。
其实推导并不复杂，不过本人之前一直是乱蒙。然后本文主要是测试一下使用MathJax显示公式，这是这套博客模板自带的功能，但本人之前一直用的是KaTeX。