有限元方法求解的是微分方程的弱形式。记微分方程为Du=0,左边与试函数空间中的任一个试函数v相乘后,在求解域Ω上积分仍应为0,即 ∫ΩvDu dΩ=0
这就是微分方程的弱形式。弱形式的解称为弱解,对可微的要求更低,更容易求解。
轴对称扭转问题可转为求解以下偏微分方程 ∂∂x(y3∂u∂x)+∂∂y(y3∂u∂y)=0
其中x轴为轴向,y轴为径向,未知量u为旋转角。具体推导可见之前的文章。
复习一下向量微积分的知识,上述方程可以写为更一般的形式 ∇⋅(c∇u)=0
散度和梯度有性质
∇⋅(vc∇u)=v∇⋅(c∇u)+c∇u⋅∇v
于是弱形式左侧的积分
∫Ωv∇⋅(c∇u) dΩ=−∫Ωc∇u⋅∇v dΩ+∫Ω∇⋅(vc∇u) dΩ
对上面第二项应用高斯散度定理
∫Ω∇⋅(vc∇u) dΩ=∫∂Ωn⋅(vc∇u) ds=∫∂Ωvc∂u∂n ds
综上,弱形式的方程为
∫Ωc∇u⋅∇v dΩ=∫∂Ωvc∂u∂n ds
在轴对称扭转问题中,边界条件为转角u为已知,又或者切应力τ为已知,此时∂u∂n=τG,这里G为剪切模量。
其实推导并不复杂,不过本人之前一直是乱蒙。然后本文主要是测试一下使用MathJax显示公式,这是这套博客模板自带的功能,但本人之前一直用的是KaTeX。